Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bàng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất. A.x = B.x = C.x = D.x =
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Gọi M là trung điểm của AB. Do các tam giác ABD và ABC cân nên: AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD). Suy ra:VABCD = VA.MCD + VB.MCD = AM. SMCD + BM. SMCD = AB. SMCD . Xét tam giác MCD ta có: MC = MD = = . Gọi H là trung điểm của CD, ta có MH ⊥ CD. Do đó MH = = .
Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: ≤ = Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: x = ⇔ x = Vậy thể tích khối đa diện đã đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = . Chú ý: có thể tính thể tích khối đa diện ABCD bằng cách kẻ đường cao DH từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC)