Cho hàm số\(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) . Tìm số thực dương m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 2. A.\(m = {\rm{ }}2.\) B.\(m = {\rm{ }}4.\) C.\(m = 1.\) D.\(m = {\rm{ }}0.\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số cũng đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\). \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2\). Theo bài ra ta có: \({m^2} - 2 = 2 \Leftrightarrow m = \pm 2\). Mà \(m\) là số thực dương. Vậy \(m = 2\). Chọn A.