Tìm m để hàm số \(y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)}^2} - 2m} \) có tập xác định là R. A.\(m \le - \dfrac{{35}}{2}.\) B.\(m \le - 35.\) C.\(m \le \dfrac{1}{2}.\) D.\(m \le \dfrac{{ - 3}}{2}.\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Ta có \(y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)}^2} - 2m} \) Hàm số trên có tập xác định R khi \(\begin{array}{l}8\cos x - 6\sin x - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {4\cos x - 3\sin x} \right) - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\end{array}\) Đặt \(t = 4\cos x - 3\sin x\) có nghiệm khi \({t^2} \le 16 + 9 \Leftrightarrow - 5 \le t \le 5\) Ta có bất phương trình \(2t - {t^2} - 2m \ge 0 \Leftrightarrow - 2m \ge {t^2} - 2t\)(1) Đặt \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi \( - 2m \ge 35 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{{35}}{2}\) Chọn A.