Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SA\) bằng \(\dfrac{a}{{\sqrt 7 }}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB}

avamax

2 năm trước

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SA\) bằng \(\dfrac{a}{{\sqrt 7 }}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\). Khi đó, \(\tan \dfrac{\alpha }{2}\) bằng
A.\(\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 31 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

hanhlanhheo

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Vì \(S.ABC\)là hình chóp đều nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = SC\\AB = AC = BC\end{array} \right.\) và \(H\) là tâm của mặt đáy \(ABC\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(AM \bot BC\) và \(AH = \dfrac{2}{3}AM\).
Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SM \bot BC\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} = \widehat {SMA} \Rightarrow \widehat {SMA} = 60^\circ \)
Qua \(H,\) kẻ \(HI \bot SA\,\left( {I \in SA} \right)\), từ giả thiết suy ra \(HI = \dfrac{a}{{\sqrt 7 }}\)
Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) nên \(\tan SMH = \dfrac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{HM}} = \sqrt 3 \Rightarrow SH = \sqrt 3 HM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AH\)
Tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\) có \(HI \bot SA\) nên ta có:
\(\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{7}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}A{H^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3A{H^2}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\\SH = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\)
Qua \(A,\) kẻ \(AK \bot SB\left( {K \in SB} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AC \bot \left( {SBH} \right) \Rightarrow AC \bot SB\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SB \bot \left( {AKC} \right) \Rightarrow SB \bot KC\).
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) và là góc giữa hai đường thẳng \(AK\) và \(KC\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}SA = SB = SC = \sqrt {A{H^2} + S{H^2}} = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{6}\\AB = AC = BC = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}AM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{3}{2}AH = a\end{array}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{a^2} \Rightarrow AK = KC = \dfrac{{2{S_{\Delta SAB}}}}{{SB}} = \dfrac{{2\sqrt 7 a}}{7}\)
Do đó, \(\cos AKC = \dfrac{{A{K^2} + K{C^2} - A{C^2}}}{{2AK.KC}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{8}\)
Suy ra \(\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Một cửa hàng làm kệ sách và bàn làm việc. Mỗi kệ sách cần 5 giờ chế biến gỗ và 4 giờ hoàn thiện. Mỗi bàn làm việc cần 10 giờ chế biến gỗ và 3 giờ hoàn thiện. Mỗi tháng cửa hàng có không quá 600 giờ để chế biến gỗ và không quá 24 giờ để hoàn thiện. Lợi nhuận của mỗi kệ sách là 400 nghìn đồng và mỗi bàn là 750 nghìn đồng. Hỏi mỗi tháng phải làm bao nhiêu kệ sách và bàn làm việc để cửa hàng thu được lợi nhuận tối đa?
A.48 kệ sách và 24 bàn làm việc.
B.60 kệ sách và 60 bàn làm việc.
C.24 kệ sách và 48 bàn làm việc.
D.0 kệ sách và 60 bàn làm việc.

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = f\left( {f\left( x \right)} \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\). Đường thẳng \(x = 2\) cắt \(\left( C \right),\,\left( {C'} \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Biết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là \(y = 2x - 2\). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \(\left( {C'} \right)\) tại điểm \(N\) là:
A.\(y = 2x - 6\)
B.\(y = 4x - 6\)
C.\(y = 2x - 2\)
D.\(y = 4x - 8\)

Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(8\), \(M\) là một điểm tùy ý thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 100\). Khi đó, quỹ tích điểm \(M\) là một mặt cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
A.\(6\)
B.\(3\sqrt 3 \)
C.\(2\sqrt 3 \)
D.\(2\)

Trong thời gian một tiết học (45 phút), số chu kì dao động con lắc đồng hồ trên thực hiện là:
A.1420.
B.180.
C.2700.
D.45.

Do có ma sát với không khí cũng như ở trục quay nên cơ năng của con lắc bị tiêu hao, cứ sau mỗi chu kì giảm 1%. Để con lắc hoạt động bình thường (chạy đúng giờ), cần cung cấp cho con lắc công suất cơ học là \(9,{{65.10}^{-6}}\,\,W\). Năng lượng cần bổ sung cho con lắc trong một tháng (30 ngày) xấp xỉ bằng:
A.834 J.
B.25 J.
C.1042 J.
D.19 J.

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD'\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
A.\(4{a^3}\)
B.\(2{a^3}\)
C.\(6{a^3}\)
D.\(8{a^3}\)

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + m - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + x + 1\) tại ba điểm phân biệt \(A\left( {1;{y_A}} \right)\), \(B,\,\,\,C\) sao cho \(BC = 2\sqrt 3 \). Tổng bình phương tất cả các phần tử của tập hợp \(S\) là:
A.\(64\)
B.\(40\)
C.\(52\)
D.\(32\)

Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Trong các số tự nhiên gồm 6 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập \(A\) ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số đó luôn xuất hiện 3 chữ số 2, các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
A.\(\dfrac{{25}}{{972}}\)
B.\(\dfrac{{35}}{{972}}\)
C.\(\dfrac{{45}}{{972}}\)
D.\(\dfrac{{55}}{{972}}\)

Nhận định nào sau đây đúng?
A.Bên trong hạt nhân có chứa các hạt electrôn.
B.Các hạt electrôn có thể được phóng ra từ bên trong hạt nhân.
C.Bên trong hạt nhân, các hạt protôn tự biến đổi thành electrôn.
D.Các hạt nơtron trong hạt nhân tự biến đổi thành electrôn.

Dưới tác động của cuộc khủng hoảng kinh tế thế giới 1929 - 1933, các mâu thuẫn trong xã hội Việt Nam ngày càng trở nên gay gắt, cơ bản nhất là mâu thuẫn:
A.giữa dân tộc Việt Nam với thực dân Pháp, giữa nông dân với địa chủ phong kiến.
B.giữa công nhân với tư sản, giữa tư sản với địa chủ phong kiến.
C.giữa công nhân với tư sản, giữa nông dân với thực dân Pháp.
D.giữa địa chủ phong kiến với tư sản, giữa tư sản Việt Nam với tư sản Pháp.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến