Cho hàm số : y= x3 - 3x - 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. (HS tự làm) 2. Viết phương trình đường thẳng d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho xA = 2 và MN = 2√2. A.y = x - 1 B.y = x + 1 C.y = -x - 1 D.y = -x + 1
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 - 3x - 1 Tập xác định: D = R Đạo hàm: y' = 3x2 - 3 Cho y' = 0 <=> 3x2 - 3 = 0 <=> x = 1, x = -1 Giới hạn : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1); (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-1; 1) Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tại xCĐ = -1, đạt cực tiểu yCT = -3 tại xCT = 1 Bảng biến thiên:
Điểm uốn: I(0; -1) vì : y" = 6x = 0 <=> x = 0 => y = -1. Giao điểm với trục hoành: không có nghiệm nguyên. Bảng giá trị
Đồ thị hàm số :
Nhận xét: đồ thị nhận điểm (0; -1) làm tâm đối xứng. 2.Nhận xét : Nếu đường thẳng d qua A không có hệ số góc tức x = 2 cắt ( C ) nhiều nhất 1 điểm không thỏa mãn yêu cầu bài toán .Do đó d phải có hệ số góc. Vì xA = 2 nên yA = 1 suy ra phương trình d có dạng y = k(x - 2) + 1 Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là: < => x3 - (3 + k)x + 2k - 2 = 0 <=> (x - 2)(x2 + 2x - k + 1) = 0
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N <=> (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ≠2 ;MN = 2√2 Theo Viet ta có x1 + x2 = -2; x1x2 = 1 - k Ta có: 8 = MN2 = (x2 - x1)2 + (x2 - x1)2k2 = (k2 + 1)(x2 - x1)2 = (k2 + 1)[(x2 + x1)2 - 4x1x2] Hay 8 = (k2 + 1)(4 - 4(1 - k)) <=> k3 + k - 2 = 0 <=> k = 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán) Vậy d có phương trình là: y = x - 1