Ta có
$$\Delta = (2m-1)^2 -4(m+1)(4m^2) = -16m^3 -12m^2 -4m + 1$$
a) Để ptrinh có 2 nghiệm pbiet thì $\Delta>0$ hay
$-16m^3 -12m^2 -4m + 1>0$
VT có nghiệm thực là 36/227, vậy có nhân tử là m-36/227. Nhân tử còn lại là một tam thức bậc 2 có hệ số của đơn thức bậc 2 là âm, vậy tam thức này luôn nhỏ hơn 0. Vậy để $\Delta>0$ thì $m<36/227$.
b) Để ptrinh có nghiệm kép thì $\Delta=0$ hay
$-16m^3 -12m^2 -4m + 1=0$
VT có nghiệm thực là 36/227, vậy có nhân tử là m-36/227. Nhân tử còn lại là một tam thức bậc 2 có hệ số của đơn thức bậc 2 là âm, vậy tam thức này luôn nhỏ hơn 0. Vậy để $\Delta=0$ thì $m=36/227$.
c) Để ptrinh vô nghiệm thì $\Delta<0$ hay
$-16m^3 -12m^2 -4m + 1<0$
VT có nghiệm thực là 36/227, vậy có nhân tử là m-(36/227). Nhân tử còn lại là một tam thức bậc 2 có hệ số của đơn thức bậc 2 là âm, vậy tam thức này luôn nhỏ hơn 0. Vậy để $\Delta<0$ thì $m>36/227$.
d) Để ptrinh có 2 nghiệm pbiet thì $\Delta>0$ hay
$-16m^3 -12m^2 -4m + 1>0$
VT có nghiệm thực là 36/227, vậy có nhân tử là m-36/227. Nhân tử còn lại là một tam thức bậc 2 có hệ số của đơn thức bậc 2 là âm, vậy tam thức này luôn nhỏ hơn 0. Vậy để $\Delta>0$ thì $m<36/227$.
Để có 2 nghiệm trái dấu thì tích 2 nghiệm nhỏ hơn 0. Theo Viet ta có
$$\dfrac{4m^2}{m+1}<0$$
Tử số luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên để BDT trên đúng thì mẫu số phải nhỏ hơn 0, hay $m<-1$.
Kết hợp với dkien có 2 nghiệm phân biệt ta có $m<-1$.
