3) Bổ sung điều kiện $a,b,c >0$ và sửa đề:
$\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2} \geq \dfrac cb +\dfrac ba +\dfrac ac$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{c^2}{a^2}\geq 2\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}\cdot\dfrac{c^2}{a^2}}= 2\dfrac ca$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2}\geq 2\dfrac{b}{a}$
$\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} \geq 2\dfrac{a}{c}$
Cộng vế theo vế ta được:
$2\cdot\left(\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2}\right)\geq 2\cdot\left(\dfrac cb +\dfrac ba +\dfrac ac\right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2} \geq \dfrac cb +\dfrac ba +\dfrac ac$
4) Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta được:
$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
$\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$
Nhân vế theo vế ta được:
$(a+b+c)\cdot\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)\geq 9\sqrt[3]{abc}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9$
