Từ $A$ kẻ đường cao $AH$
Ta có:
$AH = AB.\sin B$
$AH = AC.\sin C$
$\Rightarrow AB.\sin B = AC.\sin C$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{AC}{\sin B}$
Hay $\dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{b}{\sin B} \quad (1)$
Từ $B$ kẻ đường cao $BK$
Ta có:
$BK = AB.\sin A$
$BK = BC.\sin C$
$\Rightarrow AB\sin A = BC\sin C$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{BC}{\sin A}$
hay $\dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{a}{\sin A} \quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{b+ c}{\sin B + \sin C}$
$\Rightarrow \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b + c}{\sin B + \sin C}$
$\Rightarrow \sin A = \sin B + \sin C \Leftrightarrow a = b + c$
Trong một tam giác, ta luôn có:
$a + b > c$
$b + c > a$
$c + a > b$
Do đó $a = b + c$ không xảy ra
$\Rightarrow$ không thể xảy ra $\sin A = \sin B + \sin C$
