a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
$AB^2 = BH . BC <-> 65^2 = BH(BH+HC) <-> 4225 = BH^2 + 144BH$
Vậy $BH = 25$. $BC = BH + CH = 25 + 144 = 169$.
Theo Pytago ta có
$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 169^2 - 65^2 = 24336$
Vậy $AC = 156$. Áp dụng HTL ta có
$AH.BC = AB.AC <-> AH = 60$
b) Ta có hệ PT
$$\begin{cases}
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 676\\
12AB - 5AC = 0
\end{cases}$$
Vậy AB = 10, AC = 24. Áp dụng HTL ta có
$AB^2 = BH.BC, AC^2 = CH.CB$.
Vậy $BH = 50/13$, $CH = 288/13$.
c) Áp dụng HTL, ta có hệ
$$\begin{cases}
\dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} = \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{900}\\
AB/AC = 5/6
\end{cases}$$
Vậy $AC = 6 \sqrt{61}, AB = 5\sqrt{61}$
ÁP dụng tiếp HTL ta có
$, AH.BC = AB.AC, AB^2 = BH.BC, AC^2 = CH.BC$
Vậy $BC = 61$, $BH = 5$, $CH = 6$.
d) Áp dụng hệ thức lượng ta có
$$\begin{cases}
BH.CH = AH^2 = 196\\
HB = 4 HC
\end{cases}$$
Vậy $HC = 7$, $HB = 28$, $BC =35$
Áp dụng tiếp HTL ta có
$AB^2 = BH.BC, AC^2 = CH.BC$
Vậy $AB = 14 \sqrt{5}, AC = 7 \sqrt{5}$
Chu vi của tam giác ABC là
$$AB + BC + CA = 14 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} + 35 = 35 + 21 \sqrt{5}$$
