Đáp án:

Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}y = \frac{1}{4}{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} - m\\y' = {x^3} - 2\left( {m + 1} \right)x\\y'\left( 1 \right) = - 2m - 1;y\left( 1 \right) = - 2m - \frac{3}{4}\end{array}\) Tiếp tuyến tại \(A\left( {1; - 2m - \frac{3}{4}} \right)\) là: \(y = \left( { - 2m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 2m - \frac{3}{4}\) Hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l}\frac{1}{4}{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} - m = \left( { - 2m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 2m - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4\left( {m + 1} \right){x^2} - 4m = 4\left( { - 2m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 8m - 3\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4m{x^2} - 4{x^2} - 4m + 8mx + 4x - 8m - 4 + 8m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 4x - 1 - 4m\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) - 4m\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2x - 1 - 4m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 2x - 1 - 4m = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\) Để d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 hay \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 + 1 + 4m > 0\\1 + 2.1 - 1 - 4m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{1}{2}\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\) Khi đó (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) nên \(B\left( {{x_1};{y_1}} \right),C\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({y_1} = \left( { - 2m - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) - 2m - \frac{3}{4} = \left( { - 2m - 1} \right){x_1} + \frac{1}{4}\) và \({y_2} = \left( { - 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) - 2m - \frac{3}{4} = \left( { - 2m - 1} \right){x_2} + \frac{1}{4}\) Do đó \(\begin{array}{l}BC = 4 \Leftrightarrow B{C^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {2m + 1} \right)^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {1 + 4{m^2} + 4m + 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\left( {4{m^2} + 4m + 2} \right) = 16\\ \Leftrightarrow \left[ {4 + 4\left( {1 + 4m} \right)} \right]\left( {4{m^2} + 4m + 2} \right) = 16\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {2{m^2} + 2m + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{m^3} + 6{m^2} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^2} + 3m + 2 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\end{array}\) Vậy m=0.