Giả sử cả ba bất đẳng thức đều đúng. Khi đó, nhân các vế tương ứng ta thu được :
\(\left[ {a(1 - a)} \right]\left[ {b(1 - b)} \right]\left[ {c(1 - c)} \right] > \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4} \quad \quad (1)\)
Mặt khác, hiển nhiên \({a^2} - a + \dfrac{1}{4} = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) nên \(0 \le a(1 - a) \le \dfrac{1}{4}.\)
Tương tự ta cũng có : \(0 \le b(1 - b) \le \dfrac{1}{4}\,\,; \quad 0 \le c(1 - c) \le \dfrac{1}{4}.\)
Nhân vế với về các bất đẳng thức này, ta được :
\(\left[ {a(1 - a)} \right]\left[ {b(1 - b)} \right]\left[ {c(1 - c)} \right] \le \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4} \)
Kết hợp với \((1)\) ta được : \(\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\) (Vô lí)
Vậy phải có ít nhất một bất đẳng thức là sai.
