a)Ta có: $\widehat{KBC}=\widehat{BAD} $ (2 góc ở vị trí so le trong)
Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CDH}$ (2 góc ở vị trí đồng vị)
$\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{CDH}$
Xét $\Delta BCK$ và $\Delta DCH$ ta có:
$\widehat{K}=\widehat H=90^o$
$\widehat{KBC}=\widehat{HDC}(=\widehat{BAD})$ (chững minh trên)
$\Rightarrow $ $\Delta BCK$ đồng dạng $\Delta DCH$ (g.g)
b) Tứ giác $AKCH$ có $\widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90^o+90^o=180^o$
$\Rightarrow AKCH$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AC)$
$\Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{KHC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $KC$) (1)
Và $\widehat{CKH}=\widehat{CHA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $HC$)
Mà $\widehat{HAC}=\widehat{BCA}$ (2 góc ở vị trí so le trong)
$\Rightarrow \widehat{CKH}=\widehat{BCA}(=\widehat{CHA})$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta CKH$ đồng dạng $\Delta BCA$ (g.g)
c) Do $\Delta BCK$ đồng dạng $\Delta DCH\Rightarrow \dfrac{CK}{CH}=\dfrac{BC}{DC}$ (3)
Do $\Delta CKH$ đồng dạng $\Delta BCA\Rightarrow \dfrac{CK}{BC}=\dfrac{KH}{AC}$ (4)
Từ (3) $\Rightarrow\dfrac{CK}{BC}=\dfrac{CH}{DC}$ (5)
Từ (4) và (5) suy ra $\dfrac{KH}{AC}=\dfrac{CH}{DC}=\sin\widehat{CDH}$ ($\Delta DHC\bot H$ )
Mà $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}$ (đồng vị)
$\Rightarrow \dfrac{KH}{AC}=\sin\widehat{BAD}$
$\Rightarrow HK=AC.\sin\widehat{BAD}$ (đpcm)
d) $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}=60^o$
$DC=AB=4$
$\Delta $ vuông $DHC$ có
$\sin\widehat{CDH}=\dfrac{CH}{DC}$
$\Rightarrow CH=DC.\sin\widehat{CDH}=4\sin60^o=2\sqrt3$
$DH=\sqrt{DC^2-CH^2}=4^2-(2\sqrt3)^2=2$
$\Rightarrow AH=AD+DH=5+2=7$
$\Rightarrow S_{AHC}=\dfrac{1}{2}AH.CH=\dfrac{1}{2}7.2\sqrt3=7\sqrt3$ (*)
$BC=AD=5$
$\Delta$ vuông $BKC$ có
$\sin\widehat{KBC}=\dfrac{KC}{BC}$
$\Rightarrow KC=BC\sin\widehat{KBC}=BC\sin\widehat{CDH}=5\sin60^o=\dfrac{5\sqrt3}{2}$
$BK=\sqrt{BC^2-KC^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{5\sqrt3}{2})^2}=\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow AK=AB+BK=4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{13}{2}$
$\Rightarrow S_{ACK}=\dfrac{1}{2}AK.CK=\dfrac{1}{2}\dfrac{13}{2}\dfrac{5\sqrt3}{2}=\dfrac{65\sqrt3}{8}$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra
$S_{AKCK}=S_{ACH}+S_{ACK}=7\sqrt3+\dfrac{65\sqrt3}{8}=\dfrac{121\sqrt3}{8}$
