Gọi $O$ là giao điểm $AC$ và $BC$
Vì $ABCD$ là hình bình hành
`\qquad O` là trung điểm $AC;BD$
`=>AC=2AO; BO=DO`
Mà `AC=2AD` (gt)
`=>AD=AO`
`=>∆ADO` cân tại $A$
Gọi $M$ là trung điểm $AO$`=>OM=1/ 2 AO`
`=>AM` vừa là đường trung tuyến, đường cao và phân giác $∆ADO$
`=>\hat{DAC}=2\hat{MAO}`
Mà `\hat{DAC}=2\hat{BAC}` (gt)
`=>\hat{MAO}=\hat{BAC}`
$\\$
Vẽ $ON\perp AB$ tại $N$
Xét $∆MAO$ và $∆NAO$ có:
`\qquad \hat{AMO}=\hat{ANO}=90°`
`\qquad MO` là cạnh chung
`\qquad \hat{MAO}=\hat{NAO}` (vì `\hat{MAO}=\hat{BAC}`)
`=>∆MAO=∆NAO` (cạnh huyền-góc nhọn)
`=>OM=ON`
Mà `OM=1/ 2 DO=1/ 2 BO`
`=>ON=1/2BO` $(1)$
$\\$
Gọi $E$ là trung điểm $BO$
`=>NE` là đường trung tuyến $∆OBN$ vuông tại $N$
`=>NE=OE=1/2BO` $(2)$
Từ `(1);(2)=>ON=NE=OE`
`=>∆OEN` đều
`=>\hat{NOE}=60°`
Ta có:
`\qquad \hat{NOM}+\hat{NOE}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{NOM}=180°-\hat{NOE}=180°-60°=120°`
$\\$
Xét tứ giác `AMON` có:
`\qquad \hat{MAN}+\hat{AMO}+\hat{NOM}+\hat{ANO}=360°`
`=>\hat{MAN}+90°+120°+90°=360°`
`=>\hat{MAN}=60°=\hat{MAO}+\hat{NAO}`
Mà `\hat{MAO}=\hat{NAO}`
`=>\hat{NAO}={60°}/2=30°=\hat{BAC}`
`=>\hat{DAC}=2\hat{BAC}=2.30°=60°`
`=>\hat{DAB}=\hat{DAC}+\hat{BAC}=60°+30°=90°`
$\\$
Hình bình hành $ABCD$ có `\hat{DAB}=90°`
`=>ABCD` là hình chữ nhật (đpcm)
