a) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:
$AB^2=AC^2+AB^2=9^2+12^2=225$
$\Rightarrow AB=15$ cm.
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:
$CH.AB=AC.CB$
$\Rightarrow CH=\dfrac{AC.CB}{AB}=\dfrac{9.12}{15}=7.2$ cm.
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $AHC$ ta có:
$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{9^2-7.2^2}=5.4$ cm.
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:
$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{9}{12}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=36.87^o$
$\Rightarrow \widehat{CAB}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-36.87^o=53.13^o$
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $AHC$ ta có:
$HC^2=CM.CA$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $BHC$ ta có:
$HC^2=CN.CB$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:
$HC^2=HA.HB$
Từ 3 điều trên suy ra $CM.CA= CN.CB=HA.HB$ (đpcm).
