$\Delta ABC$ có $BA=BC$
$\widehat{ABC}=180^o-\widehat{BAD}=180^o-120^o=60^o$
($\widehat{ABC}$ và $\widehat{BAD}$ là hai góc ở vị trí trong cùng phía)
$\Rightarrow\Delta ABC$ đều, tương tự $\Delta ACD$ đều
Gọi $J$ là trung điểm $CD$
$\Rightarrow AJ$ vừa là trung tuyến vừa là phân giác, đường cao
$\Rightarrow\widehat{ACJ}=\widehat{JAD}=30^o$
Dựng $\widehat{DAF}=15^o$
$\Rightarrow \widehat{NAF}=\widehat{BAD}-\widehat{BAx}-\widehat{FAD}=120^o-15^o-15^o=90^o$
$\Rightarrow NAF\bot A$
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ADF$ có
$\begin{cases}\widehat{BAM}=\widehat{FAD}=15^o\\AB=AD\\\widehat{ABM}=\widehat{ADF}=60^o\end{cases}$
$\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ADF$ (g.c.g)
$\Rightarrow AM=AF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
$\Delta NAF\bot A:$
$\dfrac{1}{AJ^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac1{AF^2}=\dfrac1{AN^2}+\dfrac1{AM^2}$
$\Delta ACJ\bot J:AJ=\sqrt{AC^2-CJ^2}=\sqrt{a^2-(\dfrac a2)^2}=\dfrac{a\sqrt3}2=\dfrac{\sqrt3}2AB$
$\Rightarrow\dfrac1{AJ^2}=\dfrac4{3AB^2}$
$\Rightarrow\dfrac4{3AB^2}=\dfrac1{AN^2}+\dfrac1{AM^2}$ (đpcm).
