Đáp án: Câu 36: $C$
Câu 13: $\dfrac{3\sqrt{7}a^3}{28}$
Giải thích các bước giải:
Câu 36:
Chia khối $12$ mặt đều $H$ thành $12$ hình chóp tam giác có đỉnh $M$ với đáy là mặt của $H$
Gọi $V_1,V_2,...,V_{12}$ là thể thích của $12$ hình chóp trên, $h_1,h_2,...,h_{12}$ là chiều cao tương ứng của $M$ với các mặt
$\to V=V_1+V_2+...+V_{12}=\dfrac13(h_1+h_2+...+h_{12})S$
$\to h_1+h_2+...+h_{12}=\dfrac{3V}{S}$
$\to C$
Câu 13:
Gọi $D$ là trung điểm $BC\to AD\perp BC$ vì $\Delta ABC$ đều
Ta có $(AA'B), (AA'C)$ cùng hợp với đáy $(ABC)$ góc $60^o$
$\to A'B=A'C$
$\to \Delta A'BC$ cân tại $A'\to A'D\perp BC$ vì $D$ là trung điểm $BC$
$\to BC\perp (A'AD)$
Kẻ $A'E\perp AD\to BC\perp A'E$
$\to A'E\perp (ABC)\to A'E\perp AC$
Kẻ $EF\perp AC$
$\to AC\perp (A'EF)\to AC\perp A'F$
$\to \widehat{A'FE}=\widehat{(A'AC), (ABC)}=60^o$
$\to \tan\widehat{A'FE}=\dfrac{A'E}{EF}$
$\to A'E=EF\tan60^o=EF\sqrt{3}$
Ta có: $\widehat{AFE}=\widehat{A'EF}=90^o,\widehat{FA'E}=\widehat{FAE}=30^o,$ chung cạnh $EF$
$\to\Delta A'EF=\Delta AFE(g.c.g)$
$\to AE=A'F=\dfrac{2A'E}{\sqrt{3}}$
Lại có $AA'=a$
$\to A'E^2+AE^2=AA'^2$
$\to A'E^2+(\dfrac{2A'E}{\sqrt{3}})^2=a^2$
$\to A'E=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
$\to V_{ABC.A'B'C'}=A'E\cdot S_{ABC}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{7}a^3}{28}$
