Lời giải:
a. ${1 \over {\sin x}} + {{\sqrt 3 } \over {{\rm{cosx}}}} = 8\sin x$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\matrix{
{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne 0} \cr
{\cos x \ne 0} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x \ne k\pi } \cr
{x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \cr
} \Leftrightarrow x \ne k{\pi \over 2}} \right.$
Với điều kiện xác định như trên, phương trình tương đương:
$\eqalign{
& 8\sin x(\sin x.\cos x) = \sqrt 3 \sin x + \cos x \cr
& \Leftrightarrow 4\sin x.\sin 2x = \sqrt 3 \sin x + \cos x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = \cos 3x \cr
& \Leftrightarrow \cos (x + {\pi \over 3}) = \cos 3x \cr
& \Leftrightarrow x + {\pi \over 3} = \pm 3x + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {\pi \over 6} - k\pi } \cr
{x = {{k\pi } \over 2} - {\pi \over {12}}} \cr
} } \right.(k \in Z) \cr} $
(thỏa mãn điều kiện xác định).
b. Điều kiện xác định:
$\left\{ {\matrix{
{\cos x \ne 0} \cr
{\sin x \ne 0} \cr
{1 + \tan x \ne 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \cr
{x \ne k\pi } \cr
{x \ne {{ - \pi } \over 4} + k\pi } \cr
} (k \in Z)} \right.} \right.$
Với điều kiện xác định như trên, phương trình tương đương:
$\eqalign{
& {{\cos x} \over {\sin x}} - 1 = {{\cos x({{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x)} \over {\cos x + \sin x}} + {\sin ^2}x - \sin x.\cos x \cr
& \Leftrightarrow {{\cos x - \sin x} \over {\sin x}} = \cos x(\cos x - \sin x) - \sin x(\cos x - \sin x) \cr
& \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)\left( {{1 \over {\sin x}} - \cos x + \sin x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)({\sin ^2} - \sin x.\cos x + 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)(3 - \cos 2x - \sin 2x) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x - \sin x = 0 \cr} $
($\cos 2x + \sin 2x \le 1 + 1 < 3$)
Suy ra: $\eqalign{
& \sqrt 2 \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x - {\pi \over 4} = k\pi \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \cr} $
(Thỏa mãn điều kiện xác định)
c. Điều kiện xác định: tanx $\neq$ 0
$\eqalign{
& \tan x.{\sin ^2}x - 2.{\sin ^2}x = 3(\cos 2x + \sin x.\cos x) \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x.\cos x = 3\cos x({\cos ^2}x - {\sin ^2}x + \sin x.\cos x) \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\sin ^2}x.\cos x - 3{\cos ^3}x - 3\sin x.{\cos ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow ({\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x)(\sin x + \cos x) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\sin x + \cos x = 0} \cr
{\sin x = \sqrt 3 \cos x} \cr
{\sin x = - \sqrt 3 \cos x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\sqrt 2 \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 0} \cr
{2\sin \left( {x - {\pi \over 3}} \right) = 0} \cr
{2\sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = 0} \cr
} } \right.(k \in Z) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{ - \pi } \over 4} + k\pi } \cr
{x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr
{x = {{ - \pi } \over 3} + k\pi } \cr
} (k \in Z)} \right. \cr} $
