Giả sử rằng $x - \sqrt{3} = k$ với $k$ là một số nguyên. KHi đó, ta có
$x = k + \sqrt{3}$ với $k$ là một số nguyên nào đó.
TƯơng tự, giả sử rằng
$x^2 + 2\sqrt{3} = k$ với $k$ là một số nguyên. KHi đó, ta có
$x = \sqrt{k - 2\sqrt{3}}$
Vậy đk của $k$ là $k \geq 2\sqrt{3}$.
Giả sử rằng $x - \dfrac{2}{x} = k$ với $k$ là một số nguyên. Khi đó
$x^2 - kx - 2 = 0$
$\Delta = k^2 +8 \leq 8 >0$ với mọi $k$.
Do đó ptrinh luôn có 2 nghiệm phân biệt
$x = \dfrac{k-\sqrt{k^2+8}}{2}, x = \dfrac{k+\sqrt{k^2+8}}{2}$
Do đó, với $k$ là số nguyên bất kì thì $x$ có các giá trị như trên sẽ khiến $x - \dfrac{2}{x}$ là một số nguyên.
