Đáp án:
a) `\hat{ABC}≈53^0; \hat{ACB}≈37^0`
b) `AD=20,25cm`
Giải thích các bước giải:
a) `ΔABC` vuông tại `A`
`=> \hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0`
`tan\hat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{36}{27}=4/3`
`=> \hat{ABC}≈53^0`
`\hat{ACB}=90^0-\hat{ABC}≈37^0`
b) `ΔABC` vuông tại `A`
`=> BC^2=AB^2+AC^2=27^2+36^2`
`=> BC=45cm`
`ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC; AB⊥CD`
mà `BD⊥BC => ΔBDC` vuông tại `B` có đường cao `AB`
`=> BC^2=CD.AC` (hệ thức lượng)
`=> 45^2=CD.36 => CD=56,25cm`
`AD+AC=CD => AD+36=56,25 => AD=20,25cm`
c) `E` đối xứng với `A` qua đường thẳng `BC`
`=> BC` là đường trung trực của `AE`
Gọi `I` là giao điểm của `AE` và `BC`
`=> AI⊥BC; I` là trung điểm của `AE`
`=> AI=1/2 AE `
`ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AI (AI⊥BC)` có:
$\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ (hệ thức lượng)
mà `AI=1/2 AE`
$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}AE} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{4A{B^2}}} + \dfrac{1}{{4A{C^2}}} \end{array}$
d) `ΔABC` vuông tại `A => \hat{BAC}=90^0`
`ΔMBC` vuông cân tại `M => \hat{BMC}=90^0; \hat{MBC}=\hat{MCB}`
Xét tứ giác `ABMC` có:
`\hat{BAC}+\hat{BMC}=90^0+90^0=180^0`
mà 2 góc ở vị trí đối nhau
`=> ABMC` là tứ giác nội tiếp
`=> \hat{BAM}=\hat{MCB}` (cùng chắn cung `BM)`
`\hat{CAM}=\hat{MBC}` (cùng chắn cung `MC)`
mà `\hat{MCB}=\hat{MBC}` (cmt)
`=> \hat{BAM}=\hat{CAM}`
`=> AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}`
