a) Tứ giác $DHEA$ có $\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=\widehat{HEA}=90^o$
$\Rightarrow $ tứ giác $DHEA$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow DE=AH$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ ta có:
$AH^2=BH.CH=4.9=36$
$\Rightarrow DE=AH=6$ cm.
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABH$ và $\Delta $ $AHC$ ta có:
$AH^2=AD.AB$
và $AH^2=AE.AC$
$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$
c) $\Delta DBH$ vuông tại $D$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$
$\Rightarrow MH=MD\Rightarrow \Delta DMH$ cân đỉnh $M$
$\Rightarrow \widehat{MDH}=\widehat{MHD}$ (1)
Gọi $DE\cap AH=I\Rightarrow \Delta IHD$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{HDI}=\widehat{DHI}$ (2)
Từ (1) và (2): $\widehat{MDE}=\widehat{MDH}+\widehat{HDI}=\widehat{MHD}+\widehat{DHI}=\widehat{MHI}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{MDE}=90^o\Rightarrow DM\bot DE$
Tương tự $\widehat{DEN}=90^o\Rightarrow EN\bot DE$
$\Rightarrow DM\parallel EN(\bot DE)$
$\Rightarrow$ tứ giác $DMNE$ là hình thang vuông.
$\Delta DBH$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH\Rightarrow MB=MD$
Tương tự $NE=NC$
$DM+EN=BM+NC=\dfrac{BH}{2}+\dfrac{CH}{2}=\dfrac{BH+CH}{2}=\dfrac{4+9}{2}=\dfrac{13}{2}$
$\Rightarrow S_{DMNE}=\dfrac{(DM+EN).DE}{2}=\dfrac{\dfrac{13}{2}.6}{2}=19,5$
