Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\).A.\(\dfrac{1}{3}\)B.\(1\)C.\(\dfrac{1}{4}\)D.\(2\)

vithihuong.dtnt

2 năm trước

Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\).
A.\(\dfrac{1}{3}\)
B.\(1\)
C.\(\dfrac{1}{4}\)
D.\(2\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 27 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenvananh1996vp

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\forall n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{Z}\).
Đẳng thức trên đúng với \(n = 1\) vì \(1 = \dfrac{{1.2.3}}{6}\).
Giả sử đẳng thức trên đúng đến \(n = k \Rightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\), ta cần chứng minh nó đúng đến \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh \({1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}VT = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6} = VP\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đẳng thức được chứng minh. Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}} = \lim \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6\left( {{n^3} + 3n} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{1.\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6\left( {1 + \dfrac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \dfrac{{1.1.2}}{{6.1}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

\(\,\frac{1}{5} + \frac{{ - 5}}{{19}} + \frac{4}{5} + \frac{{ - 4}}{{19}}\)
A.\(\frac{{-10}}{{19}}\)
B.\(\frac{{10}}{{19}}\)
C.\(\frac{{9}}{{19}}\)
D.\(\frac{{28}}{{19}}\)

Nửa đầu thế kỉ XX, gia tăng dân số tự nhiên của nước ta thấp là do
A.tỉ suất sinh thấp, tỉ suất từ thấp.
B.tỉ suất sinh thấp, tỉ suất tử cao.
C.tỉ suất sinh cao, tỉ suất từ cao.
D.tỉ suất sinh cao, tỉ suất tử thấp.

Nung hỗn hợp muối cacbonat của hai kim loại liên tiếp trong nhóm IIA tới khối lượng không đổi thu được 1,12 lít khí CO2(đktc) và 2,32 gam hỗn hợp 2 oxit. Hai kim loại là
A.Mg và Ca.
B.Be và Mg.
C.Sr và Ba.
D.Ca và Sr.

Khi cho X (C3H6O2) tác dụng với NaOH, đun nóng thu được CH3COONa. Tên gọi của X là
A.etyl axetat.
B.metyl axetat.
C.metyl propionat.
D.propyl fomat.

Cho bảng sau:
Các chất X,Y,Z,P,Q lần lượt là
A.protein, saccarozo, glucozo, andehit axetic, tristearin.
B.protein, glucozo, andehit axetic, saccarozo, tristearin.
C.protein, glucozo, saccarozo, tristearin, andehit axetic.
D.tristearin, glucozo, andehit axetic, saccarozo, protein.

Gió mùa mùa hạ ở nước ta thổi theo hướng
A.Đông Nam và Tây Bắc
B.Đông Bắc và Đông Nam.
C.Tây Bắc và Đông Bắc .
D.Tây Nam và Đông Nam.

Sự phân bố công nghiệp chế biến lương thực, thực phẩm ở nước ta phụ thuộc chủ yếu vào
A.nguồn nguyên liệu và thị trường tiêu thụ.
B.cơ sở năng lượng và thị trường tiêu thụ.
C.nguồn lao động và cơ sở năng lượng.
D.nguồn lao động và thị trường tiêu thụ.

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 27, cho biết cách sắp xếp nào sau đây đúng thứ tự từ Bắc vào Nam một số khu kinh tế ven biển ở Bắc Trung Bộ?
A.Chân Mây - Lăng Cô, Hòn La, Vũng Áng, Nghi Sơn.
B.Nghi Sơn, Đông Nam Nghệ An, Hòn La, Vũng Áng.
C.Vũng Áng, Đông Nam Nghệ An, Hòn La, Nghi Sơn.
D.Nghi Sơn, Vũng Áng, Hòn La, Chân Mây - Lăng Cô.

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 19, cho biết tỉnh nào sau đây ở nước ta có tỉ lệ điện tích gieo trồng cây công nghiệp so với tổng diện tích gieo trồng đạt trên 50% năm 2007?
A.Đắk Lắk.
B.Phú Thọ.
C.Tây Ninh.
D.Kon Tum

Nơi nào sau đây ở nước ta có hoạt động động đất mạnh nhất?
A.Đông Nam Bộ.
B.Tây Nguyên.
C.Đông Bắc
D.Tây Bắc

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến