Đáp án đúng: D
Giải chi tiết: a) dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}}{x}+\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{{{\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 \right)}^{2}}}{x+y+z}=\frac{49}{16}\ \ \left( do\ \ \ x+y+z=1 \right)\) \(\)
Dấu “=” xảy ra
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\\frac{x}{{\frac{1}{4}}} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{1}\;\;\;\left( * \right)\end{array} \right.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  
\(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{2}}=\frac{z}{1}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{7}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{4}{7}.\frac{1}{4}=\frac{1}{7} \\ & y=\frac{4}{7}.\frac{1}{2}=\frac{2}{7} \\ & z=\frac{4}{7}.1=\frac{4}{7} \\\end{align} \right.\)  
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(\left( x;\ y;\ z \right)=\left( \frac{1}{7};\ \frac{2}{7};\ \frac{4}{7} \right)\)  
b) Ta có
\(\begin{align} & A=\left( {{2}^{z+1}}+42 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1 \right)=\left( {{2.2}^{z}}+42 \right)\left[ {{x}^{2}}\left( {{y}^{2}}+1 \right)+\left( {{y}^{2}}+1 \right) \right] \\ & \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right). \\\end{align}\)
Theo đề bài : \(x+y+xy=1\)
\(\begin{align}  & \Rightarrow A=2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( {{x}^{2}}+x+y+xy \right)\left( {{y}^{2}}+x+y+xy \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left[ x\left( x+1 \right)+y\left( x+1 \right) \right]\left[ y\left( y+1 \right)+x\left( y+1 \right) \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( x+1 \right)\left( x+y \right)\left( y+1 \right)\left( x+y \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x+y+xy+1 \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =4{{\left( x+y \right)}^{2}}\left( {{2}^{z}}+21 \right). \\\end{align}\)
Nhận thấy để \(A\) là số chính phương thì \({{2}^{z}}+21\) phải là số chính phương (do \(4{{\left( x+y \right)}^{2}}\) đã là số chính phương )
+) Chứng minh các số chính phương chia 8 dư 0 , 1 , 4
Ta thấy tất cả các số tự nhiên đều có 1 trong 4 dạng sau : \(4k;4k+1;4k+2;4k+3\) với \(k\in \mathbb{N}\)
Lần lượt xét các số chính phương : \(\)
\(-))\frac{{{\left( 4k \right)}^{2}}}{8}\) dư 0  
\(-\frac{{{\left( 4k+1 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+k+\frac{1}{8}\) dư 1
\(-)\frac{{{\left( 4k+2 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+2k+\frac{4}{8}\) dư 4
\(-)\frac{{{\left( 4k+3 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+3k+1+\frac{1}{8}\) dư  1
Vậy ta có điều cần chứng minh.
+) Xét \({{2}^{z}}+21\) ta thấy với \(z>3\) suy ra \(\frac{{{2}^{z}}+16+5}{8}={{2}^{z-3}}+2+\frac{5}{8}\)
\(\Rightarrow {{2}^{z}}+21\) chia 8 dư 5 (không thỏa mãn điều kiện là số chính phương)
+) Với \(z=2\) ta có: \({{2}^{z}}+21=4+21=25={{5}^{2}}\) là số chính phương.
+) Với \(z=1\) ta có: \({{2}^{z}}+21=2+21=23\) không là số chính phương.
+) Với \(z=0\) ta có: \({{2}^{z}}+21=1+21=22\) không là số chính phương.
Suy ra ta thấy chỉ có \(z=2\) để \(A\) là số chính phương.
+) Để\(A\) là số chính phương lớn nhất thì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\) lớn nhất
Theo đề bài ta có: \(x+y+xy=1\Leftrightarrow x\left( y+1 \right)=1-y\Rightarrow x=\frac{1-y}{1+y}=\frac{2}{1+y}-1\ \ \left( y\ne -1 \right)\)
Mà \(x \in Z \Rightarrow \left( {1 + y} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + y = - 1\\1 + y = 1\\1 + y = 2\\1 + y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 2 \Rightarrow x = - 3\\y = 0 \Rightarrow x = 1\\y = 1 \Rightarrow x = 0\\y = - 3 \Rightarrow x = - 2\end{array} \right..\)
Với \(y=-1\Rightarrow x-1-x=1\Rightarrow 0x=2\) (vô lý).
Nhận thấy với \(y=-2;x=-3\) thì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\) lớn nhất
Vậy số chính phương lớn nhất tìm được là : \(A=4.{{\left( -2-3 \right)}^{2}}.\left( {{2}^{2}}+21 \right)=2500={{50}^{2}}\)
Vậy \(x=-3;y=-2;z=2\) là các giá trị cần tìm.
Chọn D