Gọi $f(x)$ là hàm số vừa chẵn vừa lẻ, khi đó, ta có
$\begin{cases}
f(x) = f(-(-x)) = -f(-x) (do\, hàm\, lẻ)\\
f(-x) = f(-(-x)) = f(-x)
\end{cases}$
Công từng vế của hai ptrinh ta có
$2f(x) = 0$ <-> $f(x) = 0$
Vậy hàm số $y = 0$ vừa chẵn vừa lẻ.
Tính duy nhất: Giả sử tồn tại một hàm g(x) sao cho g(x) cũng vừa chẵn vừa lẻ, khi đó, ta xét
$g(x) - f(x)$
với $f(x)$ là hàm vừa tìm đc ở trên.
Khi đó
$g(x) - f(x) = g(-(-x)) - f(-(-x)) = -g(-x) + f(-x)$ do 2 hàm đều lẻ và
$g(x) - f(x) = g(-(-x)) - f(-(-x)) = g(-x) - f(-x)$ do 2 hàm đều chẵn.
Cộng từng vế ta có
$2(g(x) - f(x)) = 0$
hay
$g(x) - f(x) = 0$ <-> $g(x) = f(x)$.
Vậy tồn tại duy nhất 1 hàm vừa chẵn vừa lẻ.
