a) Gọi $N'$ là trung điểm của $AB$
$I$ là trung điểm của $AE$
$\Rightarrow N'I\parallel=\dfrac{1}{2}BE$
$BE\bot AB$
$\Rightarrow N'I\bot AB$
$\Rightarrow\Delta AN'I\bot N'$
Xét $\Delta $ vuông $ADM$ và $\Delta$ vuông $AN'I$ có:
$\widehat{A_1}=\widehat{A_3}$ (cùng phụ với $\widehat{A_2}$)
$AD=AN'$ ($=\dfrac{1}{2}AB$)
$\Rightarrow \Delta $ vuông $ADM=\Delta$ vuông $AN'I$ (cgv.gn)
$\Rightarrow AI=AM=\dfrac{1}{2}AE$
Ta có: $\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AF^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{(\dfrac{AB}{2})^2}=\dfrac{1}{(\dfrac{AE}{2})^2}+\dfrac{1}{AF^2}$
$\Rightarrow \dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{4}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}$
b) $\Delta $ vuông $ADM$ có:
$MD^2=MN.MA$
$\Rightarrow MN=\dfrac{MD^2}{MA}$
$=\dfrac{MD^3}{MA^3}.\dfrac{MA^2}{MD}$ (1)
Mà $\Delta AMF$: $AM^2=MD.MF\Rightarrow \dfrac{AM^2}{MD}=MF$
$\Delta $ vuông $AMD$ có $\cos a=\dfrac{MD}{MA}$
Thay vào (1) suy ra $MN={\cos}^3a.MF$ (đpcm)
