Giải
Ta phải chứng minh: $10^{30}$ < $2^{100}$ < $10^{31}$
+ Chứng minh: $10^{30}$ < $2^{100}$
Ta có: $10^{30}$ = ($10^{3}$)$^{10}$ = $1000^{10}$
$2^{100}$ = ($2^{10}$) $^{10}$ = $1024^{10}$
Vì $1000^{10}$ < $1024^{10}$ => $10^{30}$ < $2^{100}$ ($1^{}$)
+ Chứng minh: $2^{100}$ < $10^{31}$
Ta có: $2^{100}$ = $2^{31}$. $2^{69}$ = $2^{31}$ . $2^{63}$ . $2^{6}$ = $2^{31}$ . ($2^{9}$) $^{7}$ .$64^{}$
$10^{31}$ = $2^{31}$. $5^{31}$= $2^{31}$ .$5^{28}$. $5^{3}$ = $2^{21}$ .($5^{4}$) $^{7}$ .${125}$ = $2^{31}$. $625^{7}$. ${125}$
${Vì}$ $2^{31}$. $512^{7}$ .${64}$ ${<}$ $2^{31}$ .$625^{7}$ .${125}$
${=>}$ $2^{100}$ ${<}$ $10^{31}$ (${2}$)
${Từ (1) và (2) =>}$ $10^{31}$ < $2^{100}$ < $10^{31}$
Nên trong cách viết ở hệ thập phân số$2^{100}$ có ${31}$ chữ số.
