$(P)$ đi qua $A(2;5)\Rightarrow$ tọa độ $A$ thỏa mãn phương trình $(P)$
$\Rightarrow 5=4a+2b+c$ (1)
$(P)$ cắt trục tung $(Oy: x=0)$ tại $y=3$
$\Rightarrow 3=c$ (2)
$\dfrac{-b}{2a}=-1\Rightarrow -2a+b=0$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=\dfrac{1}{4} \\ b=\dfrac{1}{2}\\c=3 \end{array} \right .$
Vậy phương trình $(P)$ là:
$y=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$