Do A'ABC là hình chóp đều nên $A'A = A'B = A'C = AB = BC = CA = a$.
Gọi $G$ là trọng tâm giác giác $ABC$. Khi đó $A'G \perp ABCD$.
Vậy góc giữa A'D và đáy chính là góc giữa A'D và GD, do đó
$\widehat{A'DG} = 45^{\circ}$.
Gọi O là tâm của ABDC. Khi đó O là trung điểm AD và BC.
Do tam giác ABC đều nên AO là đường cao, do dó $AO = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $AD = a\sqrt{3}$ và $AG = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Do đó
$DG = AD-AG = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác vuông A'GD có $GD = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{GDA'} = 45^{\circ}$.
Do đó $A'G = GD = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có AD và BC là 2 đường chéo và $AD = a\sqrt{3}$ và $BC = a$. Vậy
$V_{ABDC.A'B'D'C'} = A'G . S_{ABDC}$
$= \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} . \dfrac{1}{2} . a\sqrt{3}.a$
$= a^3$
Vậy $V_{ABDC.A'B'D'C'} = a^3$.
