Ta có
$y' = 6x^2 + 6(m-1)x + 6(m-2)$
Xét ptrinh $y' = 0$
$6x^2 + 6(m-1)x + 6(m-2) = 0$
$<-> x^2 + (m-1)x + (m-2) = 0$
Ta có $\Delta' = (m-1)^2 - 4(m-2)= m^2 - 6m + 9 = (m-3)^2$
Dể thỏa mãn đề bài thì ptrinh phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó $m \neq 3$. Gọi 2 nghiệm của ptrinh là $x_1, x_2$.
Khi đó, ta có
$x_1 = 1-m-(m-3) = 4-2m, x_2 = 1 - m + m-3 = -2$
Theo tchat hàm bậc 2 thì $x^2 + 2(m-1)x + 2(m-2) < 0$ trong khoảng $(x_1, x_2)$ nên hso $ y= 2x^3 +3(m-1)x^2 +6(m-2)x+3$ nghịch biến trong khoảng $(x_1, x_2)$
Để hso nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 thì khoảng cách giữa 2 nghiệm phải lớn hơn 3.
Ta có
$|x_2 - x_1| = |-2-(4-2m)| = |2m-6| = 2|m-3|$
Theo đề bài ta có
$2|m-3| > 3$
$<-> |m-3| > \dfrac{3}{2}$
Vậy $m > \dfrac{9}{2}$ hoặc $m < \dfrac{3}{2}$
