a)
$\widehat{BMI}=\widehat{FMC}$ ( hai góc đối đỉnh )
$\widehat{FMC}=\widehat{DAC}$ ( $ADMF$ nội tiếp )
$\widehat{DAC}=\widehat{DAB}$ ( $AD$ là tia phân giác )
$\widehat{DAB}=\widehat{BME}$ ( $AEDM$ nội tiếp )
$\to \widehat{BMI}=\widehat{BME}$
$\to MB$ là tia phân giác $\widehat{IME}$
b)
chứng minh dễ dàng:
$\,\,\,\,\,\,\Delta BMI=\Delta CMF\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to \widehat{MIB}=\widehat{MFC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{MFC}=\widehat{AEM}$ ( $AEMF$ nội tiếp )
Nên $\widehat{MIB}=\widehat{AEM}$
$\to BEMI$ là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
c)
$BEMI$ là tứ giác nội tiếp
$\begin{cases}\widehat{BEI}=\widehat{BMI}\\\\\widehat{BIE}=\widehat{BME}\end{cases}$
Mà $\widehat{BMI}=\widehat{BME}$ ( $MB$ là tia phân giác $\widehat{IME}$ )
Nên $\widehat{BEI}=\widehat{BIE}$
$\to \Delta BEI$ cân tại $B$
$\to BE=BI$
Mà $BI=CF$ ( $\Delta BMI=\Delta CMF$ )
Nên $BE=CF$
$\widehat{DAC}+\widehat{ACD}+\widehat{CDA}=180{}^\circ $ ( tổng ba góc của một tam giác )
Mà:
$\widehat{DAC}=\widehat{EAD}$ ( $AD$ là tia phân giác )
$\widehat{ACD}=\widehat{IBM}=\widehat{IEM}$
$\widehat{CDA}=\widehat{AEM}$ ( $AEDM$ nội tiếp )
$\to \widehat{EAD}+\widehat{IEM}+\widehat{AEM}=180{}^\circ $
$\to \widehat{EAD}+\widehat{AEI}=180{}^\circ $
Mà hai góc này nằm ở vị trí trong cùng phía
Nên $AD\,\,||\,\,EI$
