Đáp án:
$9$
Giải thích các bước giải:
Ta nhận xét được bài toán trên từng hạng tử có biểu thức chung có dạng là : $\begin{align}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\\=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\times \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}\\=\frac{1(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\times (\sqrt{n}-\sqrt{n+1})}\\=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-(n+1)}\\=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-n-1}\\=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{-1}\\=-(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})\\=-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\tag{1}\end{align}$.
Sau một số bước chuyển đổi, ta nhận thấy (1) có thể làm một dãy số khử liên tiếp, áp dụng (1) với bài toán trên ta được :
$A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\=-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-...-\sqrt{99}+\sqrt{100}\\=-\sqrt{1}+\sqrt{100}=-1+10=9$.
Vậy, đáp án là $9$.
