a) Xét $\Delta$ vuông $ADE$ và $\Delta$ vuông $ ABF$ có:
$AD=AB$
$DE=BF$
$\Rightarrow $ $\Delta$ vuông $ADE=\Delta$ vuông $ ABF$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow AE=AF$ (hai cạnh tương ứng) (1)
Và $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$
$\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{BAF}+\widehat{EAB}$
$=\widehat{DAE}+\widehat{EAF}$
$=90^o$
$\Rightarrow \widehat{EAF}=90^o$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \Delta AEF$ vuông cân đỉnh $A$.
b) $BD\bot AC$ và $BD$ chia $AC$ thành 2 đoạn bằng nhau
$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AC$ (3)
$\Delta AEF$ vuông cân $AI$ là trung tuyến
Suy ra $AI=\dfrac{1}{2}EF$
$\Delta$ vuông $ CEF$ có $CI$ là trung tuyến $\Rightarrow CI=\dfrac{1}{2}EF$
$\Rightarrow AI=CI(=\dfrac{1}{2}EF)$
$\Rightarrow I$ thuộc đường trung trực của AC (4)
Từ (3) và (4) suy ra $D,B,I$ thẳng hàng
$I\in DB$
c) $\Delta AEF$ cân đỉnh $A$
$I$ là trung điểm của $EF$
$\Rightarrow AI\bot EF$
$\Rightarrow AK$ là đường trung trực của $EF$ (5)
$K$ là hình chiếu của $A$ qua $I$
$\Rightarrow AI=IK$
Hay $I$ là trung điểm của $AK$
Mà $EF\bot AK$
$\Rightarrow EF$ là đường trung trực của $AK$ (5)
Từ (5) và (6) suy ra $AEKF$ là tứ giác có hai đường chéo là trung trực của mỗi đường
$\Rightarrow AEKF$ là hình thoi.
Mà $\widehat{EAF}=90^o$
$\Rightarrow AEKF$ là hình vuông.
