Cho hình chóp S.ABC có \(SA=2a \) và \(SA \bot \left( ABC \right). \) Tam giác ABC vuông cân tại A có \(AB=a \sqrt{2}. \) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A.\(2a\) B.\(2a\sqrt{2}\) C. \(a\sqrt{2}\) D. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết: Gọi H là trung điểm của BC ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (do tam giác ABC vuông cân tại A) Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại H \(\Rightarrow d//SA\) Gọi J là trung điểm của SA. Trong mp(d;SA) kẻ IJ // AH \(\Rightarrow IJ\bot SA\,\,\left( I\in d \right)\). \(I\in d\Rightarrow IA=IB=IC\), I thuộc trung trục của SA \(\Rightarrow IS=IA\) \(\Rightarrow IA=IB=IC=IS\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Xét tam giác vuông cân ABC ta có \(BC=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AH=\frac{1}{2}BC=a\) \(IH=JA=\frac{1}{2}SA=a\Rightarrow IA=\sqrt{I{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=a\sqrt{2}=R\) Chọn C.