Ta có A là hình chiếu của S lên mặt (ABCD), do đó AC là hình chiếu của SC lên (ABCD). Do đó góc giữa SC và (ABCD) là $\widehat{SCA} = 60^{\circ}$.
Ta có $AC = a\sqrt{2}$, do đó $SA = a\sqrt{2} . \tan(60) = a\sqrt{6}$.
Xét tam giác vuông SAB vuông tại A. Khi đó áp dụng Pytago ta có
$SB^2 = SA^2 + AB^2$
Vậy $SB = a\sqrt{7}$.
Khi đó, áp dụng HTL ta có
$AS^2 = SH.SB$
Vậy $SH = \dfrac{6a\sqrt{7}}{7}$
Khi đó, $\dfrac{SH}{SB} = \dfrac{6}{7}$.
Làm tương tự ta tính đc
$\dfrac{SI}{SC} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{SK}{SD} = \dfrac{6}{7}$
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có
$\dfrac{V_{SABCD}}{V_{AIHK}} = \dfrac{SB}{SH} . \dfrac{SC}{SI} . \dfrac{SD}{SK}$
$= \dfrac{7}{6} . \dfrac{4}{3} . \dfrac{7}{6} = \dfrac{49}{27}$
Vậy $\dfrac{V_{SABCD}}{V_{AIHK}} = \dfrac{49}{27}$.
