Gọi G là tâm tam giác ABC, khi đó $SG \perp (ABC)$.
Gọi AG giao BC tại M, khi đó M là trung điểm BC và $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} .a . \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Ta có (P) cắt chóp S.ABC thành 2 đa diện là S.MNP và MNP.ABC.
Do đó $V_{S.MNP} = V_{MNP.ABC} = \dfrac{1}{2} V_{S.ABC}$
Mặt khác, do (P)//(ABC) nên ta có $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC}$.
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có
$\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA}. \dfrac{SN}{SB}. \dfrac{SP}{SC} = \left( \dfrac{SM}{SA} \right)^3 = \dfrac{1}{2}$
Vậy $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Do đó tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Vậy $S_{MNP} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} S_{ABC}$.
Do đó
$S_{MNP} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} . \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^2 \sqrt[6]{108}}{8}$.
