Đáp án:
$d(M, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
Lời giải:
Hạ $SH \perp AB$. Khi đó $SH \perp (ABCD)$.
Do SH là đường cao của tam giác đều cạnh a nên $SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có
$\dfrac{d(M, (SCD))}{d(A, (SCD))} = \dfrac{MS}{AS} = \dfrac{1}{2}$
Vậy $d(A, (SCD)) = 2 d(M, (SCD))$
Lại có $AB // CD$ nên $d(A, (SCD)) = d(H, (SCD))$
Hạ $HI \perp CD$. Lại có $CD \perp SH$ do đó $CD \perp (SHI)$.
Hạ $HK \perp SI$. Khi đó $CD \perp HK$. Do đó $H\perp (SCD)$
Vậy $d(H, (SCD)) = HK$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHI ta có
$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{HS^2} + \dfrac{1}{HI^2}$
Vậy $HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy $d(M, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
