a) Ta có M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó MN//AB.
CMTT ta có ME//AC.
Vậy tứ giác MNAE là hình bình hành.
Lại có $\widehat{BAC}$ vuông nên MNAE là hình chữ nhật.
b) Ta có N, E là trung điểm AC, AB nên NE là đường trung bình của tam giác ABC, do dó NE//BC hay NE//MH. Vậy tứ giác MNEH là hình thang.
Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là trung tuyến, do đó HN = NA.
Do tứ giác ANME là hình chữ nhật nên NA = ME.
Trong hình thang MNEH có hai đường chéo ME = HN (= NA). Do đó MNEH là hình thang cân.
c) Do NH = NA nên tam giác NAH cân tại N, do đó $\widehat{NHA} = \widehat{NAH}$
Xét tam giác vuông AHB có HE là đường trung tuyến, do đó EA = EH. Vậy tam giác AEH cân tại E nên $\widehat{EAH} = \widehat{EHA}$
Ta có
$\widehat{EHN} = \widehat{EHA} + \widehat{NHA}$
$ = \widehat{EAH} + \widehat{NAH}$
$= \widehat{NAB} = 90^{\circ}$
Vậy $\widehat{EHN} = 90^{\circ}$
d) Để tứ giác AKBM là hình vuông thì $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$. Do đó AM là đường cao đồng thời là trung tuyến.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.
Khi đó $M \equiv H$. Do đó tứ giác EHMN là một tam giác.
Lại có ME = MN. Do đó tam giác EMN là tam giác cân.
