Do P(x) chia cho $(x^2-1) được thương là 2x và còn dư nên
$P(x) = 2x(x^2-1) + g(x)$
$<-> P(x) = 2x(x-1)(x+1) + g(x)$
Với $g(x)$ là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của $x^2-1$, tức là bậc của g(x) lớn nhất là 1.
Đặt $g(x) = ax + b$. Khi đó, ta có
$P(x) : (x-1) = [2x(x-1)(x+1) + g(x)]:(x-1) = 2x(x+1) + \dfrac{g(x)}{x-1}$
Do P(x) chia (x-1) dư 2 nên ta có $g(x)$ chia cho $(x-1)$ phải dư 2.
Ta có
$g(x) = a(x-1) + (b+a)$
Do đó $a + b = 2$.(1)
Làm tương tự ta có
$P(x) : (x+1) = 2x(x-1) + \dfrac{g(x)}{x+1}$
Vậy g(x) chia x+1 dư 4. Ta có
$g(x) = a(x+1) + b-a$
Do đó $b - a = 4$.(2)
Từ (1), (2) ta suy ra $a = -1, b = 3$. Vậy $g(x) = -x + 3$.
Vậy
$P(x) = 2x(x^2-1) +(-x + 3)$
$= 2x^3 -3x + 3$
Vậy $P(x) = 2x^3 - 3x + 3$.
