Có bao nhiêu số nguyên m đề phương trình \(3{{ \sin }^{4}}x+m{{ \cos }^{2}}x+2=0 \) có nghiệm thuộc đoạn \( \left[ 0; \frac{ \pi }{6} \right] \) ? A.2 B.0 C.3 D.1
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:\(3{{\sin }^{4}}x+m{{\cos }^{2}}x+2=0\Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}x+m\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)+2=0\Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}x-m{{\sin }^{2}}x+m+2=0\) Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\,\,\left( t\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right] \right)\), khi đó phương trình trở thành: \(3{{t}^{2}}-mt+m+2=0\,\,\left( * \right)\) Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\) \(\left( * \right)\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+2=m\left( t-1 \right)\), với t = 1, phương trình do nghiệm, do đó \(t\ne 1\Rightarrow m=\frac{3{{t}^{2}}+2}{t-1}=f\left( t \right)\) Có: \(f'\left( t \right)=\frac{6t\left( t-1 \right)-3{{t}^{2}}-2}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\frac{3{{t}^{2}}-6t-2}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} t=\frac{3+\sqrt{15}}{3}\notin \left[ 0;\frac{1}{4} \right] \\ t=\frac{3-\sqrt{15}}{3}\notin \left[ 0;\frac{1}{4} \right] \\ \end{align} \right.\) Ta có: \(\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\subset \left[ \frac{3-\sqrt{15}}{3};\frac{3+\sqrt{15}}{3} \right]\Rightarrow f'\left( t \right)<0\,\,\forall t\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\) . \(f\left( 0 \right)=-2;f\left( \frac{1}{4} \right)=-\frac{35}{12}\Rightarrow \) Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(-\frac{35}{12}\le m\le -2\) Mà \(m\in Z\Rightarrow m=-2\) Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
