a) Đường thẳng $d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $2 \sqrt{3}$ nghĩa là khi hoành độ bằng 0 thì tung độ bằng $2\sqrt{3}$.

Do đó

$2\sqrt{3} = \sqrt{k} + \sqrt{3}$

$<-> \sqrt{3} = \sqrt{k}$

$<-> k = 3$

Vậy $k = $3.

b) Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, tức là khi tung độ bằng 0 thì hoành độ bằng 1. Do đó

$0 = \dfrac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1} + \sqrt{k} + \sqrt{3}$

$<-> \sqrt{k}+1 + (\sqrt{k}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = 0$

$<-> \sqrt{k} .\sqrt{3} +4 - \sqrt{3}= 0$

$<-> \sqrt{k} = \dfrac{\sqrt{3}-4}{\sqrt{3}}$

$<-> \sqrt{k} = \dfrac{3 - 4\sqrt{3}}{3}$

$<-> k = \dfrac{19 - 12\sqrt{3}}{3}$

Vậy $k = \dfrac{19 - 12\sqrt{3}}{3}$.

c) Tại điểm có hoành độ $x = 1 - \sqrt{3}$, ta có

$y = \dfrac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1} . (1-\sqrt{3}) + \sqrt{k} + \sqrt{3}$

$= -\sqrt{k} - 1 + \sqrt{k} + \sqrt{3}$

$= \sqrt{3}-1$

Vậy hso đi qua điểm $(1-\sqrt{3}, \sqrt{3}-1)$ với mọi giá trị $k$ ko âm.

Bài 2

Giao điểm của đồ thị vs trục Ox là khi tung độ bằng 0, do đó

$0 = mx + m -1$

$<-> x = \dfrac{1-m}{m}$

Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( \dfrac{1-m}{m}, 0\right)$.

Giao điểm của đồ thị vs trục Oy là khi hoành độ bằng 0. Do đó

$y = 0.m + m -1$

$= m-1$

Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm $( 0, m-1)$.

Khi đó, diện tích tam giác tạo bởi đồ thị vs 2 trục tọa độ là

$\dfrac{1}{2} . |m-1| . | \dfrac{1-m}{m}|$

Theo đề bài ta có diện tích bằng 2 nên

$|m-1| . | \dfrac{1-m}{m}| = 4$

TH1: $(m-1).\dfrac{1-m}{m} = 4$

Khi đó, ta có

$(m-1)(1-m) = 4m$

$<-> -m^2 + 2m - 1 = 4m$

$<-> m^2 + 2m + 1 = 0$

$<-> (m+1)^2 = 0$

Vậy $m = -1$

TH2: $(m-1)\dfrac{1-m}{m} = -4$

Ptrinh tương đương vs

$-m^2 + 2m - 1 = -4m$

$<-> m^2 - 6m + 1 = 0$

Vậy $m = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Do đó, $m = -1, 3\pm 2\sqrt{2}$.