Đáp án: Bạn tham khảo lời giải bên dưới
Giải thích các bước giải:
a, Ta có:
`AH` là đường cao của tam giác `ABC`
`=>`$AH\perp BC$
`ΔAHC` vuông tại `H`
Vì `N` là trung điểm `AC`
`=>HN=AN=CN=1/2AC(1)` (định lí)
Mặt khác: `K` là điểm đối xứng của `H` qua `N`
`=>HN=KN(2)`
Từ `(1)` và `(2)=>AC=Hk` và `AN=NC=HN=KN`
`=>AKCH` là hình chữ nhật (tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật)
b, Ta có:
`M` là trung điểm của `AH`
`N` là trung điểm của `AC`
`=>MN` là đường trung bình của `ΔAHC`
`=>`$MN//HC$ và `MN=1/2HC(3)`
Lại có: `ΔABC` cân tại `A`
`=>` Đường cao đồng thời là đường trung tuyến
`=>BH=CH(4)`
Từ `(3)` và `(4)=>`$MN//BH$ và `MN=1/2BH`
`=>MN` là đường trung bình `ΔBHK`
`=>M` là trung điểm của `BK(đpcm)`
c, Ta có:
`N` là trung điểm của `AC`
$MQ//BC$`=>Q` là trung điểm của `AB`
Vì `N` là trung điểm của `AC`
`H` là trung điểm của `BC`
`=>`$HN//AQ$
Tương tự: $QH//AN$
`=>AQHN` là hình bình hành `(5)`
Mặt khác $MN//HC$ mà $AH \perp HC$
`=>`$MN \perp AH(6)$
Từ `(5)` và `(6)=>AQHN` là hình thoi
d, Để `AKHQ` là hình thang cân
`=>\hat{QHK}=\hat{AKH}`
Mà `\hat{QHK}=\hat{BAC}` (`ΔQAN` đối xứng với `ΔNHQ` qua đường thẳng `QN`)
`=>\hat{BAC}=\hat{AKH}(7)`
Mặt khác $AK//HC$
`=>\hat{AKN}=\hat{NHC}(8)` (so le trong)
Xét `ΔBQH` và `ΔCNH` có:
`BQ=CN; \hat{B}=\hat{C}; BH=CH`
`=>ΔBQH=ΔCNH(c-g-c)`
`=>\hat{QHB}=\hat{NHC}(9)`
Từ `(7), (8)` và `(9)=>\hat{BAC}=\hat{QHB}=\hat{QHN}=\hat{NHC}`
Mà ` \hat{QHB}+\hat{QHN}+\hat{NHC}=180^o`
`=>\hat{QHB}=\hat{QHN}=\hat{NHC}=60^o`
`=>\hat{BAC}=60^o`
Kết hợp với `ΔABC` cân tại `A=>ΔABC` là tam giác đều
Vậy `ΔABC` là tam giác đều thì `AKHQ` là hình thang cân
