Đặt $t = \sin x + \cos x$. Khi đó $t = \sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$, do đó $t \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ và
$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin(2x)$
Suy ra $\sin(2x) = t^2-1$
Vậy ta xét hso $y = t^2+t-2$ với $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$
Hso này là một parabol ngửa, với đỉnh là $(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4})$
Ta có
$y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, y(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
Ta thấy
$-\dfrac{9}{4} < -\sqrt{2} < \sqrt{2}$
Vậy hso đạt GTNN là $-\dfrac{9}{4}$ tại $t = -\dfrac{1}{2}$, đạt GTLN tại $t = \sqrt{2}$.
Với $t = -\dfrac{1}{2}$, thay giá trị vào ta có
$\sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = -\dfrac{1}{2}$
$<-> \sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
Vậy $x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \pi - \arcsin(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$.
Do đó $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arcsin(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arcsin(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$
Với $t = \sqrt{2}$ thì
$\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = 1$
Vậy $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ hay $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
Do đó hso đạt GTNN là $-\dfrac{9}{4}$ tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arcsin(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arcsin(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$
và đạt GTLN là $\sqrt{2}$ tại $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
