1)

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

$x^2=4x+m\Leftrightarrow x^2-4x-m=0$

Để $d_m$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có $\Delta'>0$

$\Leftrightarrow 4+m>0\Leftrightarrow m>-4$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt cũng chính là hoành độ của hai giao điểm $x_1=2+\sqrt{4+m}$ và $x_2=2-\sqrt{4+m}$

Một trong 2 tung độ của giao điểm bằng 1 nên ta có:

Th1:

$y_1=x_1^2=(2+\sqrt{4+m})^2=1$

$\Rightarrow\left[\begin{array}{I}2+\sqrt{4+m}=1\\2+\sqrt{4+m}=-1\text{ (loại)}\end{array}\right.\Rightarrow 4+m=1\Rightarrow m=-3\text{ (nhận)}$

TH2:

$y_2=x_2^2=(2-\sqrt{4+m})^2=1$

$\Rightarrow\left[\begin{array}{I}2-\sqrt{4+m}=1\\2-\sqrt{4+m}=-1\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{I}\sqrt{4+m}=1\\\sqrt{4+m}=3\end{array}\right.\left[\begin{array}{I}m=-3\\m=5\end{array}\right.\text{ (thỏa mãn)}$

Vậy với $m=\{1;-3;5\}$ thì $d_m$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt và 1 trong 2 giao điểm có tung độ bằng 1.

2)

$(P):y=x^2$

Trên $(P)$ lấy điểm $A$ có hoành độ $x_A=-2\Rightarrow y_A=x_A^2=4\Rightarrow A(-2;4)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{[1-(-2)]^2+(1-4)^2}=3\sqrt2$

Theo bất đẳng thức tam giác $|MA-MB|\le AB$

$\Rightarrow|MA-MB|$ đạt giá trị lớn nhất là bằng AB bằng $3\sqrt2$ khi $M, A, B$ thẳng hàng, M nằm trên trục hoành khi đó M là giao của đường thẳng AB với trục hoành $Ox:y=0$

Đường thẳng AB là: $y=ax+b$ tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình đường thẳng AB nên:

$\begin{cases}4=-2a+b\\1=1a+b\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$ 

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $y=-x+2$ xét giao với trục hoành ta có:

$y=0\Rightarrow -x+2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow M(2,0)$

3) 

Đường thẳng $(d):y=(a-2)x+b$ có hệ số góc là 4 nên $a-2=4\Rightarrow a=6$

$(d)$ đi qua điểm M(1;-3) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng nên

$-3=4.1+b\Rightarrow b=-7$

Vậy phương trình đường thẳng $(d)$ là $y=4x-7$

4)

a) $(d):y=2x-5$ giao với $Ox:y=0\Rightarrow 2x-5=0\Rightarrow x=\dfrac52\Rightarrow A(\dfrac52;0)$

$(d)$ giao với $Oy:x=0\Rightarrow y=2.0-5=-5\Rightarrow B(0;-5)$

Đường thẳng $(d)$ đi qua 2 điểm $A,B$ có đồ thì như hình vẽ.

b) $S_{\Delta AOB}=\dfrac{OA.OB}2=\dfrac{|x_A|.|y_B|}2=\dfrac{\dfrac52.|-5|}2=\dfrac{25}4$