a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$
Do đó
$\vert \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD}\vert = \vert \vec{GD} \vert = GD$
GỌi O là giao điểm của BD và AC. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $BG = \dfrac{2}{3} BO = \dfrac{1}{3} BD$
Vậy $DG = \dfrac{2}{3} BD$
Áp dụng Pytago ta có $BD = a\sqrt{5}$. Vậy $GD = \dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$.
b) Ta có
$\vert \vec{GA} + \vec{GB} + 2\vec{GC} + \vec{GD}| = \vert \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GC} + \vec{GD}|$
$= \vert \vec{GC} + \vec{GD} \vert$
Lấy M là trung điểm CD, khi đó
$\vert \vec{GC} + \vec{GD} \vert = \vert 2\vec{GM} \vert = 2GM$.
Hạ $GH \perp CD$. Khi đó tam giác DHG đồng dạng vs tam giác DCB, do đó
$\dfrac{DH}{DC} = \dfrac{HG}{CB} = \dfrac{DG}{DB} = \dfrac{2}{3}$
Vậy $DH = \dfrac{4a}{3}$ và $HG = \dfrac{2a}{3}$
Lại có $DH = DM + MH$ và $MD = a$, do đó $MH = \dfrac{a}{3}$
Áp dụng Pytago ta có
$GM^2 = GH^2 + HM^2$
Vậy $GM = \dfrac{a\sqrt{5}}{3}$
Do đó
$\vert \vec{GA} + \vec{GB} + 2\vec{GC} + \vec{GD}| = 2GM = \dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$
