Trên mặt phẳng cho hình 10 cạnh lồi \({A_1}{A_2}...{A_{10}} \) . Xét tam giác có 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của hình đa giác trên. Hỏi có bao nhiêu tam giác trong đó cả ba cạnh của nó đều không là cạnh của hình 10 cạnh lồi trên? A.120 B.50 C.110 D.60
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Ta có số tam giác được tạo thành từ 10 đỉnh của đa giác lồi 10 cạnh này là \(C_{10}^3\) . - Xét trường hợp số tam giác chỉ chứa 2 cạnh của đa giác là số tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác thì có 10 tam giác như vậy. - Xét trường hợp số tam giác chứa đúng 1 cạnh của đa giác là số tam giác có 2 đỉnh là 2 đỉnh liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kế tiếp hai đỉnh kia. - Xét một cạnh bất kì ta có \(C_{10 - 4}^1\) cách chọn 1 trong \(10 - 4\) đỉnh còn lại (trừ 2 đỉnh đã chọn và 2 đỉnh kế tiếp nó). Vậy có \(10 \times C_{10 - 4}^1\) tam giác. Suy ra số tam giác không chứa cạnh của đa giác là \(C_{10}^3 - 10 - 10 \times C_{10 - 4}^1 = 50\). Chọn B.