a) Để CM A chia hết cho 21, ta cminh A chia hết cho 3 và chia hết cho 7.
Ta có
$A = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{30}$
$= (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + \cdots + (2^{29} + 2^{30})$
$= 2(1 + 2) + 2^3(1 + 2) + \cdots + 2^{29}(1 + 2)$
$= 2.3 + 2^3.3 + \cdots + 2^{29}.3$
$= 3(2 + 2^3 + \cdots + 2^{29})$
Vậy A chia hết cho 3.
Mặt khác, ta lại có
$A = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{30}$
$= (2 + 2^2 + 2^3) + \cdots + (2^{28} + 2^{29} + 2^{30})$
$= 2(1 + 2 + 2^2) + \cdots + 2^{28} (1 + 2 + 2^2)$
$= 2.7 + \cdots + 2^{28} . 7$
$= 7(2 + 2^4 + 2^7 + \cdots + 2^{28})$
Vậy A chia hết cho 7.
Do A vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 7 nên A chia hết cho 21.
b) Để $\overline{a65b}$ chia hết cho 45 thì nó phải vừa chia hết cho 5, vừa chi hết cho 9. Do đó, $b = 0$ hoặc $b = 5$.
TH1: $b = 0$. KHi đó
$a + 6 + 5 + 0 \vdots 9$
hay
$a + 11 \vdots 9$
Vậy $a = 7$. Số cần tìm là 7650.
TH2: $b = 5$. KHi đó
$a + 6 + 5 + 5 \vdots 9$
$<-> a + 16 \vdots 9$
Vậy $a = 2$. Số cần tìm là 2655
Bài 4
a) Ta có
$5^x = 125$
$<-> 5^x = 5^3$
$<-> x = 3$
Vậy $x = 3$
