+)Xét x=0;1 hiển nhiên đúng
+)Xét \(xe0;1\)
Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Ta có:\(n\left(n-1\right)\)là tích hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮2\)
Cần cm:\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮5\)
Vì n là stn=>n có các dạng:5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4
Xét n có dạng 5k\(\Rightarrow n⋮5\)=>đpcm
Xét n có dạng 5k+1=>n-1\(⋮5\)=>đpcm
Xét n có dạng 5k+2=>\(n\equiv2\left(mod5\right)\Rightarrow n^2\equiv4\left(mod5\right)\Rightarrow n^2+1⋮5\Rightarrowđpcm\)
Xét n có dạng 5k+3\(\Rightarrow n\equiv3\left(mod5\right)\Rightarrow n^2\equiv9\equiv4\left(mod5\right)\Rightarrow n^2+1⋮5\Rightarrowđpcm\)
Xét n có dạng 5k+4=>\(n+1⋮5\Rightarrowđpcm\)
Vậy từ tất cả những cái trên ta có đc đpcm
