Đáp án:
$\begin{array}{l}
g)\,\,\,M\left( { - 2;\,\, - 20} \right)\\
h)\,\,\,m = - \frac{{51}}{{10}}
\end{array}$
Giải thích các bước giải:
g) Gọi $M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ là điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số \(y = \left( {m + 5} \right)x + 2m - 10\)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {y_0} = \left( {m + 5} \right){x_0} + 2m - 10\,\,\,\,\forall m\\
\Leftrightarrow {y_0} = m{x_0} + 5{x_0} + 2m - 10 & \forall m\\
\Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 2} \right) = {y_0} - 5{x_0} + 10 & \forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + 2 = 0\\
{y_0} - 5{x_0} + 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = - 2\\
{y_0} = - 20
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2; - 20} \right).
\end{array}$
Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm $M\left( { - 2; - 20} \right)$ với mọi \(m.\)
h) $y = \left( {m + 5} \right)x + 2m - 10\,\, \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)x - y + 2m - 10 = 0$
$ \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {2m - 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + 1} }}$
Ta có đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 10} \right)\) với mọi \(m.\)
Khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số lớn nhất là OM
\( \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) = OM = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2}} = \sqrt {404} = 2\sqrt {101} .\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {2m - 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + 1} }} = 2\sqrt {101} \\ \Leftrightarrow \left| {m - 5} \right| = \sqrt {101} .\sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {m - 5} \right)^2} = 101\left[ {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + 1} \right]\\ \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 25 = 101{m^2} + 1010m + 2626\\ \Leftrightarrow 100{m^2} + 1020m + 2601 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \frac{{51}}{{10}}.\end{array}\)
