Ta khai thác giả thiết :
$\bigg(1+\dfrac{a}{b}\bigg).\bigg(1+\dfrac{b}{c}\bigg).\bigg(1+\dfrac{c}{a}\bigg) = 8$
$\to 2+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=8$
$\to \dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=6$
Ta chứng minh $BĐT$ phụ sau : $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} ≥ 2 $ với $x,y>0$
Thật vậy, $BĐT$ cần chứng minh tương đương :
$\dfrac{(x-y)^2}{xy} ≥ 0 $ ( Luôn đúng với $x,y > 0 $ )
Do đó, $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} ≥ 2 $ với $x,y>0$
Áp dụng vào bài toán với $a,b,c>0$ thì :
$\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} ≥ 2+2+2=6$
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$
Hay tam giác có ba cạnh là $a,b,c$ là tam giác đều.
Vậy ta có điều phải chứng minh !
