Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = √3xy + y2. A.MaxM = ; MinM = B.MaxM = ; MinM = C.MaxM = ; MinM = D.MaxM = ; MinM =
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Ta có : ab ≤ ⇔ 2ab ≤ a2 + b2 ⇔ (a – b)2 ≥ 0 (đúng với mọi a, b) Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b M = √3xy + y2 = (√3x)y + y2 ≤ + y2 = = Mà x2 + y2 = 1 => M ≤ . Dấu « = » xảy ra ⇔ ⇔ Vậy giá trị lớn nhất của M là ; đạt được khi x = và y = hoặc x = - và y = - Xét 2M + 1 = 2(√3xy + y2) + 1 = 2√3xy + 2y2 + (x2 + y2) = x2 + 2x√3y + 3y2 = (x + √3y)2 ≥ 0 với mọi x, y Suy ra M ≥ . Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ ⇔ x = - và y = hoặc x = và y = Vậy giá trị nhỏ nhất của M là , đạt được khi và chỉ khi x = - và y = hoặc x = và y =