a) Ta có: $K$ là trung điểm cạnh $AB$
$M$ là trung điểm cạnh $BC$
$\Rightarrow KM$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow KM=\dfrac{1}{2}AC=AI$ (1) (do $I$ là trung điểm cạnh $AC$)
Tương tự $MI$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow MI=\dfrac{1}{2}AB=AK$ (2) (do $K$ là trung điểm cạnh $AB$)
Mà $AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $KM=AI=MI=AK$ (vì $=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$)
$\Rightarrow $ tứ giác $AKMI$ là hình thoi.
b) Tứ giác $AMCN$ có 2 đường chéo $AC$ và $MN$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường
nên tứ giác $AMCN$ là hình bình hành
Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao
$\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow \widehat{AMC}=90^o$
Tứ giác $AMCN$ là hình bình hành có $\widehat{AMC}=90^o$
$\Rightarrow $ tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật
$\Delta ABC$ có $K$ là trung điểm $AB$
và $I$ là trung điểm của $AC$
$\Rightarrow KI$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow KI\parallel BC$ hay $KI\parallel MC$
và $KI=\dfrac{1}{2}BC=MC$ (do $M$ là trung điểm cạnh $BC$)
Tứ giác $MKIC$ có $KI\parallel=MC$
$\Rightarrow $ tứ giác $MKIC$ là hình bình hành
c) Tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật suy ra
$AN=MC\Rightarrow AN=BM$
Và $AN\parallel MC\Rightarrow AN\parallel BM$
Tứ giác $ABMN$ có $AN\parallel=BM$
$\Rightarrow $ tứ giác $ABMN$ là hình bình hành
Do đó giao điểm của 2 đường chéo là trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AM$
$\Rightarrow E$ là trung điểm của $BN$ (đpcm)
d) Tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật
Để $AMCN$ là hình vuông thì $AM=MC\Rightarrow \Delta AMC$ cân đỉnh $M$
Mà $\widehat{AMC}=90^o$
$\Rightarrow\Delta AMC$ vuông cân đỉnh $M$
$\Rightarrow\widehat{ACM}=45^o$
$\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $\widehat{ACM}=45^o$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân đỉnh $A$
